IEEE 754二进制浮点算术标准

1.科学记数法

IEEE 754 的开发者最终想到的方法是使用科学记数法的思想。

科学记数法是表示数字的标准方法，您可能熟悉以 10 为基数的科学记数法。

//简写±aen或±aEn
±a×10n

其中一个因数为 a（1≤|a|<10），另一个因数为 10ⁿ。例如：

3498523 = 3.498523×106
−0.0432 = −4.32×10−2

同样的方法也适用于以 2 为基数的科学记数法。例如：

−6.84 = −1.71×22
0.05 = 1.6×2−5

2.IEEE 二进制浮点算术标准

IEEE 二进制浮点算术标准 (IEEE 754) 是一种用二进制数的方式表示十进制浮点数的技术标准，由电气和电子工程师协会 (IEEE)于 1985 年制定。

(-1)sign(1 + fraction)×2exponent-bias

IEEE 754 有 3 个基本组成部分：

1. 符号(sign)
   如果sign bit为 0，则该数字为正数，(−1)⁰=1。如果sign bit为 1，则该数字为负数，(−1)¹=−1。
2. 小数(fraction)
   又名尾数(mantissa)。
3. 指数(exponent)
   power(幂指数) = exponent(指数) – bias

IEEE 754 基于以上三个组成部分分为两个：单精度和双精度。

3.示例：转换到IEEE 754 格式

假设我们希望把0.085(十进制)转换成单精度格式。

3.1查看数字的符号

因为 0.085 是正数，所以sign = 0。

3.2base-2 科学记数法

0.085 = (−1)0(1+fraction)×2power
或
0.085/2power = (−1)0(1+fraction)

0.085/2−1 = 0.17
0.085/2−2 = 0.34
0.085/2−3 = 0.68
0.085/2−4 = 1.36

所以，0.085 = (-1)⁰(1+0.36)×2⁻⁴

//0.36转换成二进制
0.010111000010100011110101110000101000111101011100001011

3.3计算指数

exponent=−4+127=123=01111011

然而，单精度格式只为我们提供 23 位来表示我们数字的小数部分。我们将不得不接受一个近似值，四舍五入到第 23 位数字。所以 IEEE 754 格式的 0.085 是：

0 01111011 01011100001010001111011

4.特殊值

类似的双精度，只是用 2049 替换 255。

5.浮点数范围

有五个不同的数字范围，单精度浮点数无法用迄今为止提出的方案表示：

1. 小于 – (2 – 2 ^-23 ) × 2 ¹²⁷ 的负数（负溢出）
2. 大于 – 2 ^-149 的负数（负下溢）
3. 零
4. 小于 2 ^-149 的正数（正下溢）
5. 大于 (2 – 2 ^-23 ) × 2 ¹²⁷ 的正数（正溢出）

溢出通常意味着值变得太大而无法表示。下溢是一个不太严重的问题，因为它只是表示精度的损失，它保证接近于零。

有限IEEE浮点数的总有效范围表如下所示：